Welge studierte Geschichte sowie Allgemeine und Vergleichende Literaturwissenschaft an der Universität Konstanz bevor er sein Studium an der Stanford University fortsetzte und dort promovierte. Nach seiner Arbeit als Lecturer in the Humanities an der Stanford University wirkte er als Visiting Assistant Professor im Fach French/Italian Literature an der University of California in Santa Barbara. Danach war er Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Peter Szondi-Institut für Allgemeine und Vergleichende Literaturwissenschaft der FU Berlin, 2009 folgte die Habilitation für Romanistik sowie Allgemeine und Vergleichende Literaturwissenschaft. Welge wirkte als Vertretungs-Dozent am Romanischen Seminar der Universität Tübingen sowie als Vertretungs-Professor für Allgemeine und Vergleichende Literaturwissenschaft an der FU Berlin. Zuletzt war er als Professor für Kulturwissenschaft und kulturwissenschaftliche Methoden/Romanistik an der Universität Konstanz tätig und Gastdozent an der Universität Bern.